Metode Numerik Persamaan Linear

Tugas Metode Numerik

PERSAMAAN LINEAR

1. Perbedaan antara Sistem Persamaan Linier dengan Sistem Persamaan Non Linier?

a) Sistem Persamaan Linier (SPL) dalam n peubah x1, x2, x3,…., xn adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, dimana dan a1, a2, a3,...,an dan b adalah konstanta – konstanta riil. Bentuk umum untuk persamaan linear adalah  

Secara umum, ” x” dianggap menjadi masukan dari sebuah persamaan dan ” y” dianggap output. Dalam kasus persamaan linier, setiap peningkatan dalam ” x” baik akan menyebabkan peningkatan ” y” atau penurunan ” y” sesuai dengan nilai lereng. Dari bentuk persamaannya persamaan linear mengandung variable bebas yang berpangkat 1 (satu) atau 0 (nol). Dari bentuk grafik yang dihasilkan, persamaan linear akan menghasilkan grafik yang berbentuk garis lurus.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier ada 2 yaitu; dapat diselesaikan disebut konsisten sedangkan yang tidak dapat diselesaikan disebut tidak konsisten.Untuk menyelesaikan persamaan linier pada metode numerik ada 3 metode yaitu metode Substitusi, metode Eliminasi, dan metode Determinan. Hasil dari persamaan linier berupa garis lurus

b)  Sistem Persamaan Tak Linier (SP Non Linier) pada metode numerik disajikan 3 metode yang biasa digunakan yaitu metode Bisection, metode Newton Raphson, dan metode Secant. Hasil dari persamaan linier berupa garis lengkung.

Secara Umum, persamaan nonlinier, ” x” mungkin tidak selalu menyebabkan ” y” untuk meningkatkan. Sebagai contoh, jika y = (5 – x) ², ” y” penurunan nilai sebagai ” x” pendekatan 5, tetapi meningkat sebaliknya. Persamaan non linear mengandung variable bebas yang berpangkatkan bilangan real. Dari bentuk grafik, pada persamaan nonlinear mungkin terlihat seperti sebuah parabola jika derajat 2, x bentuk-melengkung jika derajat 3, atau variasi daripadanya melengkung.

2.  Perbedaan antara Metode Langsung dan Metode Iterasi?

Metode solusi numerik biasa dipakai ada 2 yaitu Metode Langsung dan Metode tak Langsung.

·      Metode langsung terdiri dari eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, metode matriks invers dan metode dekomposisi LU. Metode Langsung prinsip kerjanya merupakan operasi eliminasi dan substitusi variabel-variabel sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas dan diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik. Metode langsung terdiri dari eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan,  metode dekomposisi LU dan solusi sistem tradisional.

-  Langsung Eliminasi Gauss (EGAUSS), prinsipnya: merupakan operasi eliminasi dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian rupa sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas, dan akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik (backsubstitution),

- Metode Eliminasi Gauss Jordan ini. Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali dengan metode EG, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan matriks identitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai, namun sangat bermanfaat untuk menginversikan matriks,

- Dekomposisi LU (DECOLU), prinsipnya: melakukan dekomposisi matriks A terlebih dahulu sehingga dapat terbentuk matriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemudian secara mudah dapat melakukan substitusi balik (backsubstitution) untuk berbagai vektor VRK (vektor ruas kanan).

-  Solusi sistem TRIDIAGONAL (S3DIAG), prinsipnya merupakan solusi SPL dengan bentuk matrik pita (satu diagonal bawah, satu diagonal utama, dan satu diagonal atas) pada matriks A.

Contoh:

sistem persamaan simultan

x₁ + x₂ =  5

3x₁ + 6x₂ = 18

Jawab;

1  1    5

3  6  18

·           Baris 1 = Baris 2  – 3 Baris 1

1  1    5

0  3    3

·           Baris 2  = Baris 2 /3

1  1    5

0  1    1

·           

Baris 1-Baris 2

1   0    4

0   1    1

Jadi penyelesaian persamaan simultan adalah X₁=4 dan  X₂=1

·      Metode Tak Langsung terdiri dari metode iterasi Jacobi, metode iterasi Gauss-Seidel dan metode Successive Over Relaxation (SOR). Metode Iterasi  prinsip kerjanya menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.Metode iterasi dimulai dengan nilai-nilai tebakan.

-  Metode Jacobi, prinsipnya: merupakan metode iteratif yang melakuakn perbaharuan nilai x yang diperoleh tiap iterasi (mirip metode substitusi berurutan, successive substitution).

- Metode Gauss-Seidel, prinsipnya: mirip metode Jacobi, namun melibatkan perhitungan implisit.

- Metode Successive Over Relaxation (SOR), prinsipnya: merupakan perbaikan secara langsung dari Metode Gauss- Seidel dengan cara menggunakan faktor relaksasi (faktor pembobot) pada setiap tahap/proses iterasi. 

Contoh;

x₁ + x₂ =  5

3x₁ + 6x₂ = 18

Tebakan nilai x1=0 dan x2=0

x1=5-x2

x2=1/6 (18-3x1)

iterasi 1;

x1=5-0=5

x2=1/6(18-3.5)=0.5

ietrasi 2;

x1=5-1=4

x2=1/6(18-3.4)=1

iterasi 3;

x1=5-2=3

x2=1/6(18-3.3)=9/6

 Metode langsung dan Metode Iterasi sama-sama digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier, tetapi Metode langsung biasanyamenyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien dari pada metode iterasi. SedangkanMetode Iterasi digunakan pada SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas yang diperbolehkan.

3. Apa yang dimaksud dengan Konvergen?

konvergen artinya makin lama makin mendekati nilai sesungguhnya. Suatu barisan a₁, a₂,…..dikatakan konvergen ke α jika dan hanya jika untuk semua e>0 terdapat bilangan bulat η₀ (Є).

Sedemikian hingga untuk semua n ≥ η₀ terdapat │ α - α_n │< Є

Sehingga penyelesaian dalam metode numeric dicari berdasarkan selisih hasil  saat ini dengan hasil sebelumnya.

Kriteria konvergens iini dapat dipakai untuk mengurangi jumlah iterasi yang besar tetapi terkadang tidak akurat

Dapat didownload dalam bentuk MS. Word

Link!!!

Tugas Metode Numerik Persamaan Linear

Posted in: Tugas